Henry Darcy et sa loi

Les Variation de Vitesse et la Couche Limite

Force des idées de Darcy

Par Glenn Brown
Traduction par Diane Nadege
Oklahoma State University
07/09/01

Henry Darcy est le premier chercheur qui analysa systématiquement la variation de la vitesse en milieu turbulent. Dans sa recherche basée sur le flux dans les tuyaux, il mesura l'importance du flux total et sa vitesse moyenne dans un tuyau et iI mesura également en détail la variation de la vitesse le long du flux (Darcy ,1857). Ces mesures ont put être effectuées grace a son amelioration du tube de Pitot. Ces minutieuses mesures et ces analyses profondes lui ont permis d'établir une formule généralisée sur la distribution de la vitesse .

L'expression moderne est :

 Darcy's velocity law

 [1]

R est le rayon de la pipe , y est la distance à partir de la paroi du tuyau, U est la vitesse moyenne, u est la vitesse au point y, et v* est la vitesse de friction dont l'équation est :

 friction velocity relationship

 [2]

r est la densité du fluide, et to est la contrainte a la paroi du tuyau. Schlichting, (1968; page 370) compara les resultats de l'expérience de Darcy avec celles de Prandtl's et von Kármán's sur les Nombres Reynold, (Re > 106) concernant de grandes valeurs. Le rapport de Prandtl basé sur la loi universelle de Stanton est :

Prandtl's Law 

 [3]

La loi de Von Kárman similairement prédit :

von Kárman's Law 

 [4]

c est la plus grande longueur constante qui est 0.4. Figure 1, Tracé des Equations 1, 3 and 4, (la valeur de c utilise dans l'equation 4 est de 0.36.) Si des points avaient été obtenus, on aurait des lignes dont le trace se rapprocherait a des lignes suivant l'équation de Von Kármán.
Comparison of velocity-distribution laws

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Figure 1. Loi universelle de la variation de la vitesse sur des tuyaux à surface lisse et rugueuse d'apres (Schlichting, 1986). Note Re > 10E+6 et
c = 0.36.

Comme on peut le constater, la formule de la loi de Darcy s'accorde pour tout y/R > 0.2. Considérant la difficulté de l'utilisation des tubes pilotes pres de la paroi du solide, l'erreur dans cette équation est compréhensible. Les efforts du travail de Darcy sont louables car il surpassa Prandtl qui ne présenta ses résultats qu'en 1925 et von Kármán publia les siens en 1930; 73 and 78 quelques années après les résultats de Darcy.

Darcy fut incapable d'obtenir des résultats quantitatifs lors de l'étude de la vitesse sur les parois des fluides à cause d'une limitation du materiel scientifique. Malgré cet handicap, la comparaison de l'écoulement des fluides dans des tuyaux à surfaces rugueuses et lisses lui ont permis de suspecter "l'existence d'une couche de fluide aux parois d'un tuyau". Rouse and Ince (1954; page 170). Dans ce bouquin, Darcy parle de la transition d'un tuyau ayant une surface rugueuse à un tuyau avec une surface lisse et il examine l'impact de cette transition sur le coefficient du rapport de perte dans un tuyau.

"Si on utilise des tuyaux, en plomb recouverts de bitume vitrifié, etc. Le coefficient de V^2 va sans cesse en diminuant au fur et à mesure que le degré de poli augmente.
 
Mais la diminution cependant est loin de paraitre en rapport avec le degré de poli obtenu. En vain dirait-on que l'influence des aspérites insensibles à la vue subsiste pour les molécules fluides, cette explication ne semblerait pas tout à fait satisfaisante.
 
C'est qu'en effet, le terme V^2 ne parait pas correspondre seulement à la resistance causée par les aspéites mais aussi à celle que fait éprouver la couche fluide juxtaposée a la paroi."

C'est évident maintenant que les suspicions de Darcy concernant les couches limites de fluides étant la cause de la variation du flot des fluides sur des surfaces lisse et rugueuse etait correcte.Il est important de rappeler que la résistance est une fonction de la vitesse, ayant une puissance 1.75, alors qu'auparavant la résistance était une fonction carré de la vitesse. Cette difference entre la definition des résistance a été la cause de la confusion et du débat qui entraina à l'adoption de l'équation Darcy-Weisbach qui devint plus populaire que les formules de Prony, à cette époque.

Biobliographie

Darcy, H. 1857. Recherches Experimentales Relatives au Mouvement de L'Eau dans les Tuyaux, 2 volumes, Mallet-Bachelier, Paris. 268 pages and atlas.

Rouse, H. and S. Ince. 1957. History of Hydraulics. Iowa State Univ., Ames, Iowa. 269 pages.

Schlichting, H. 1968. Boundary-Layer Theory, sixth edition. McGraw-Hill Book Co. New York. 748 pages.